Гідравліка. Лекція Рівняння Бернуллі

Лекція

ТЕМА ЛЕКЦІЇ : Рівняння Бернуллі

МЕТА ЛЕКЦІЇ : Вивчити основне рівняння гідродинаміки

ПЛАН ЛЕКЦІЇ :

1.Рівняння Бернуллі для ідеальної рідини
2. Рівняння Бернуллі для реальної рідини

3. Вимірювання швидкості потоку і витрати рідини
     1.Рівняння Данила Бернуллі, отримане в 1738 р., є фундаментальним рівнянням гідродинаміки. Воно дає зв'язок між тиском P, середньою швидкістю υ і п'єзометричною висотою z в різних перетинах потоку і виражає закон збереження енергії рухомої рідини. За допомогою цього рівняння вирішується велике коло завдань.
     Розглянемо трубопровід змінного діаметру, розташований у просторі під кутом β

 

Рис.1 Схема висновку рівняння Бернуллі для ідеальної рідини

     Виберемо довільно на даній ділянці трубопроводу два перетину: перетин  1-1 і перетин 2-2. Вгору по трубопроводу від першого перетину до другого рухається рідина, витрата якої дорівнює Q.

     Для вимірювання тиску рідини застосовують п'єзометри - тонкостінні скляні трубки, в яких рідина піднімається на висоту Р/ρg. У кожному перетині встановлені п'єзометри, в яких рівень рідини піднімається на різні висоти.
     Крім пьезометра в кожному перерізі 1-1 і 2-2 встановлена ​​трубка, загнутий кінець якої спрямований назустріч потоку рідини, яка називається трубка Піто. Рідина в трубках Піто також піднімається на різні рівні, якщо відраховувати їх від  п'єзометричною лінії.
     П'єзометричну лінію можна побудувати наступним чином. Якщо між перетином 1-1 і 2-2 поставити кілька таких ж п'езометри і через них провести криву, то ми отримаємо ламану лінію (рис.1).
     Проте висота рівнів в трубках Піто щодо довільної горизонтальної прямої 0-0, яка має назву площини порівняння, буде однакова.
     Якщо в трубках Піто провести лінію, то вона буде горизонтальна, і буде відображати рівень повної енергії трубопроводу.
     Для двох довільних перерізів 1-1 і 2-2 потоку ідеальної рідини рівняння Бернуллі має наступний вигляд:

Z₁ + Р₁/ ρg + v₁²/2g = Z₂ + Р₂/ ρg + v₂²/2g = Н = const

      Так як перерізу 1-1 і 2-2 взяті довільно, то отримане рівняння можна переписати інакше:

Z + Р/ ρg + v²/2g = Н = const

     і прочитати так: сума трьох членів рівняння Бернуллі для будь-якого перетину потоку ідеальної рідини є величина постійна.
     З енергетичної точки зору кожен член рівняння являє собою певні види енергії:
z₁ і z₂ - питомі енергії положення, що характеризують потенційну енергію в перетинах 1-1 і 2-2;
Р₁/ ρg і Р₂/ ρg - питомі енергії тиску, що характеризують потенційну енергію тиску в тих же перетинах;
v₁²/2g і v₂²/2g - питомі кінетичні енергії в тих же перетинах.

     Отже, згідно з рівнянням Бернуллі, повна питома енергія ідеальної рідини в будь-якому перетині постійна.
     Рівняння Бернуллі можна витлумачити і чисто геометрично. Справа в тому, що кожен член рівняння має лінійну розмірність. Дивлячись на рис.1, можна помітити, що z₁ і z₂ - геометричні висоти перерізів 1-1 і 2-2 над площиною порівняння;  Р₁/ ρg і Р₂/ ρg  - п'єзометричні висоти;  v₁²/2g і v₂²/2g - швидкісні висоти в зазначених перетинах.

      У цьому випадку рівняння Бернуллі можна прочитати так: сума геометричної, п'єзометричної і швидкісної висоти для ідеальної рідини є величина постійна.

 2.Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини дещо відрізняється від рівняння

Z₁ + Р₁/ ρg + v₁²/2g = Z₂ + Р₂/ ρg + v₂²/2g = Н = const


     Справа в тому, що при русі реальної в'язкої рідини виникають сили тертя, на подолання яких рідина витрачає енергію. У результаті повна питома енергія рідини в перерізі 1-1 буде більше повної питомої енергії в перетині 2-2 на величину втраченої енергії (Рис.2)

Рис.2.Схема висновку рівняння Бернуллі для реальної рідини

    Втрачена енергія або втрачений напір позначаються h_пот^1-2 і мають також лінійну розмірність.

     Рівняння Бернуллі для реальної рідини буде мати вигляд:

Z₁ + Р₁/ ρg + α₁ v₁²/2g = Z₂ + Р₂/ ρg +  α₂ v₂²/2g + h_пот^1-2 = Н = const


     З рис.2 видно, що в міру руху рідини від перетину 1-1 до перетину 2-2 втрачений напір весь час збільшується (втрачений напір виділений вертикальним штрихуванням). Таким чином, рівень первісної енергії, якою володіє рідина в першому перерізі, для другого перерізу буде складатися з чотирьох складових: геометричної висоти, п'єзометричної висоти, швидкісної висоти і втраченого напору між перетинами 1-1 і 2-2.
     Крім цього в рівнянні з'явилися ще два коефіцієнти α ₁ і α _2, які називаються коефіцієнтами Коріоліса і залежать від режиму течії рідини (α = 2 для ламінарного режиму, α = 1 для турбулентного режиму).
     Втрачена висота h_пот^1-2 складається з лінійних втрат, викликаних силою тертя між шарами рідини, і втрат, викликаних місцевими опорами (змінами конфігурації потоку)

 h_пот^1-2 = Н_лін + h_місць
     За допомогою рівняння Бернуллі вирішується більшість завдань практичної гідравліки. Для цього вибирають два перерізу по довжині потоку, таким чином, щоб для одного з них були відомі величини Р, ρ, g, а для іншого перерізу одна або декілька величин підлягали визначенню. При двох невідомих для другого перерізу використовують рівняння сталості витрати рідини v₁ ω₁ = v₂ ω₂

3.Для вимірювання швидкості в точках потоку широко використовується працює на принципі рівняння Бернуллі трубка Піто (рис.3), загнутий кінець якої спрямований назустріч потоку. Нехай потрібно виміряти швидкість рідини в якійсь точці потоку. Помістивши кінець трубки в зазначену точку та склавши рівняння Бернуллі для перетину 1-1 і перетину, що проходить на рівні рідини в трубці Піто отримаємо

(Р_ст + γh) /γ + v²/2g = Н + h + Р_ст/ γ      або  v = √2 gН

де Н - стовп рідини в трубці Піто.



Рис. 3Трубка Піто і pасходомер Вентурі

     

      Для вимірювання витрати рідини в трубопроводах часто використовують витратомір Вентурі, дія якого заснована так само на принципі рівняння Бернуллі. Витратомір Вентурі складається з двох конічних насадков з циліндричною вставкою між ними (рис.3). Якщо в перетинах II і II-II поставити п'єзометри, то різниця рівнів в них залежатиме від витрати рідини, що протікає по трубі.

    Нехтуючи втратами напору і вважаючи z₁ = z₂, напишемо рівняння Бернуллі для перетинів I - I і II-II:

Р₁/γ  + v₁² /2g = Р₂/γ  + v₂² /2g

або

h = (Р₁ – Р₂) / γ = v₁² /2g [-1 + (v₁ / v₂)²]

Використовуючи рівняння нерозривності

Q = v₁ ω₁ = v₂ ω₂

зробимо заміну в отримано вираженні:

h = Q²/ 2gω₁² [-1 + (v₁ / v₂)²]

     Вирішуючи щодо Q, отримаємо

Q = ω₁ ω₂ √2g  / ω₁² – ω₂² ˑ √h

 Вираз, що стоїть перед √h , є постійною величиною, що носить назву постійної водоміра Вентурі.

   З   отриманого рівняння видно, що h залежить від витрати Q. Часто цю залежність будують у вигляді тарувальної кривої h від Q, яка має параболічний характер.

Контрольні тести

1.Член рівняння Бернуллі, що позначається буквою z, називається
а) геометричною висотою;      б) п'єзометричною висотою;
в) швидкісною висотою;          г) втраченої заввишки.
2. Член рівняння Бернуллі, що позначається виразом Р/ ρg називається
а) швидкісною висотою;          б) геометричною висотою;
в) п'єзометричною висотою;   г) втраченої заввишки.

3. Член рівняння Бернуллі, що позначається виразом α₂ v₂²/2g називається
а) п'єзометричною висотою;      б) швидкісною висотою;
в) геометричною висотою;         г) такого члена не існує.

4. Рівняння Бернуллі для двох різних перетинів потоку дає взаємозв'язок між
а) тиском, витратою і швидкістю;
б) швидкістю, тиском і коефіцієнтом Коріоліса;
в) тиском, швидкістю і геометричної висотою;
г) геометричної висотою, швидкістю, витратою.

5. Коефіцієнт Коріоліса в рівнянні Бернуллі характеризує
а) режим течії рідини;
б) ступінь гідравлічного опору трубопроводу;
в) зміна швидкісного напору;
г) ступінь зменшення рівня повної енергії.