ТЕМА ЛЕКЦІЇ : Теплопровідність. Основні поняття та визначення

ЛЕКЦІЯ

ТЕМА ЛЕКЦІЇ : Теплопровідність. Основні поняття та визначення

МЕТА ЛЕКЦІЇ : Ознайомитись зі способом перенесення теплоти, шляхом теплопровідності

ПЛАН ЛЕКЦІЇ :

1.     Температурне поле

2.      Рівняння теплопровідності

3.     Стаціонарна теплопровідність через плоску стінку

4.     Стаціонарна теплопровідність через циліндричну стінку

5.     Стаціонарна теплопровідність через шарову стінку

     1.Процес передачі теплоти теплопровідністю відбувається при безпосередньому контакті тіл або частками тіл з різними температурами і являє собою молекулярний процес передачі теплоти. При нагріванні тіла, кінетична енергія його молекул зростає і частки більш нагрітої частини тіла, стикаючись з сусідніми молекулами, передають їм частину своєї кінетичної енергії.

     Будемо розглядати тільки однорідні і ізотропні тіла, тобто такі тіла, які мають однакові фізичні властивості в усіх напрямках. При передачі теплоти в твердому тілі, температура тіла буде змінюватися по всьому об'єму тіла і в часі. Сукупність значень температури в даний момент часу для всіх точок досліджуваного простору називається температурним полем:

t = f (x, y, z, τ)

де: t-температура тіла;

     x, y, z - координати точки;

     τ – час

     Часто температура змінюється тільки за однією або двома просторовими координатами, відповідно температурне поле буде одно або двомірним. Крім того, розрізняють стаціонарне температурне поле, коли температура в усіх точках тіла не змінюється з часом  і нестаціонарне.

     Ізотермічної поверхнею називається поверхня тіла з однаковою температурою.

     Розглянемо дві ізотермічні поверхні (рис.9.1) з температурами t і t + Δt. Градіентом температури називають межу відношення зміни температури Δt до відстані між ізотермами по нормалі Δn, коли прямує до нуля:

gradt = | gradt | = Lim [Δt / Δn] Δn → 0 = ∂t / ∂n

     

     Температурний градієнт - це вектор, спрямованої по нормалі до ізотермічної поверхні в бік зростання температури і чисельно рівний похідній температури t по нормалі n:

gradt = ∂t / ∂n n₀

де: n₀ - одиничний вектор.

     Кількість теплоти, що проходить через ізотермічну поверхню F в одиницю часу називається тепловим потоком – Q  [Вт ].

     Тепловий потік, що проходить через одиницю площі називають щільністю теплового потоку 

                         q = Q / F, [Вт / м²]

     2.Для твердого тіла рівняння теплопровідності підкоряється закону Фур'є:

     Кількість теплоти, яка проходить через елемент ізотермічної поверхні за проміжок часу, пропорційно температурному градієнту

Q = -λ ∙ F ∙ ∂t / ∂n, або

q = -λ ∙ ∂t / ∂n ∙ no = -λ ∙ gradt

де: q - вектор щільності теплового потоку;

      λ - κоеффіціент теплопровідності, [Вт / (м ∙ К)].

Знак мінус у рівнянні вказує на те, що вектор q скерований протилежно векторові grad t , тобто в напрямку найбільшого зменшення температури

Чисельне значення вектора щільності теплового потоку дорівнює:

q = -λ ∙ ∂t / ∂n = -λ ∙ | gradt |

де: | gradt | - модуль вектора градієнта температури.

      Коефіцієнт теплопровідності λ є фізичним параметром речовини, що характеризує здатність тіла проводить теплоту. Він залежить від роду речовини, тиску і температури. Також на його величину впливає вологість речовини. Для більшості речовин коефіцієнт теплопровідності визначається дослідним шляхом і для технічних розрахунків беруть з довідкової літератури. Чисельно коефіцієнт теплопровідності λ дорівнює густині теплового потоку при градієнтові температури 1 К/м

3. Стаціонарна теплопровідність через плоску стінку

А) Однорідна одношарова стінка

Температури поверхонь стінки –t_ст1 і t_ст2
Щільність теплового потока:

q = -λ∙ ∂t/∂n = - λ∙ ∂t/∂x = - λ∙ (t_cт2 - t_cт1)/(x_cт2 - x_cт1)

або

q = λ∙ (t_cт2 - t_cт1)/(x_cт2 - x_cт1)∙ Dt/Dx

де δ – товщина стінки

    (t_cт2 - t_cт1) = ∆t – температурний напір

Тоді

q = λ/δ∙(t_ст1 – t_ст2) = λ/δ∙Δt

    Якщо R = δ / λ - термічний опір теплопровідності стінки [(м² ∙ К) / Вт], то щільність теплового потоку:

q = (t_ст1 – t_ст2)/R

     Загальна кількість теплоти, що передається через поверхню F за час τ визначається:

Q = q∙F∙τ = (t_ст1 – t_ст2)/R·F∙τ

Температура тіла в точці з координатою х знаходиться за формулою:

t_x = t_ст1 – (t_ст1 – t_ст2)∙x/ δ

Б)  Багатошарова плоска стінка

     Розглянемо 3-х шарову стінку (рис.9.3). Температура зовнішніх поверхонь стенокt_ст1 і t_ст2, коефіцієнти теплопровідності слоевλ₁, λ₂, λ₃, товщина шарів δ₁, δ₂, δ₃

Щільність теплових потоків через кожен шар стінки

q = λ₁/δ₁∙(t_ст1 – t_сл1)
q = λ₂/δ₂∙(t_сл1 – t_сл2)
q = λ₃/δ₃∙(t_сл2 – t_ст2)

Вирішуючи ці рівняння, щодо різниці температур і складаючи, отримуємо

q = (t₁ – t₄)/(δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂ + δ₃/λ₃) = (t_ст1 – t_ст4)/R_o 

де  R_o = (δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂ + δ₃/λ₃) - загальний термічний опір теплопровідності багатошарової стінки.

    Температура шарів визначається за такими формулами :

t_сл1 = t_ст1 – q∙(δ₁/λ₁)

 t_сл2 = t_сл1 – q·(δ₂/λ₂)

4.Стаціонарна теплопровідність через циліндричну стінку.

А) Однорідна циліндрична стінка.

     Розглянемо однорідний одношаровий циліндр довжиною l, внутрішнім діаметром _d1і зовнішнім діаметром d₂

Температури поверхонь стінки – t_ст1 і t_ст2

Рівняння теплопровідності за законом Фур'є в циліндричних координатах

Q = - λ∙2∙π∙r ·l· ∂t / ∂r

або

Q = 2·π·λ·l·Δt/ln(d₂/d₁)

де  Δt = t_ст1 – t_ст2 – температурний напір
      λ – κоефіцієнт теплопровідності стінки

     Для циліндричних поверхонь вводять поняття теплового потоку одиниці довжини циліндричної поверхні (лінійна щільність теплового потоку), для якої розрахункові формули будуть

q_l = Q/l =2·π·λ·Δt /ln(d₂/d₁), [Вт/м].

Температура тіла всередині стінки з координатою d_х

t_x = t_ст1 – (t_ст1 – t_ст2) ·ln(d_x/d₁) / ln(d₂/d₁).

Б)Багатошарова циліндрична стінка

Припустимо циліндрична стінка складається з трьох щільно прилеглих шарів

Температура внутрішньої поверхні стінки – t_ст1, температура зовнішньої поверхні  стінки – t_ст2, коефіцієнти теплопровідності шарів – λ₁, λ₂, λ₃, діаметри шарів d₁, d₂, d₃, d₄.

Теплові потоки для шарів будуть:

1-й шар

Q = 2·π· λ₁·l·(t_ст1 – t_сл1)/ ln(d₂/d₁)

2-й шар
Q = 2·π·λ₂·l·(t_сл1 – t_сл2)/ ln(d₃/d₂)
3-й шар
Q = 2·π·λ₃·l·(t_сл2 – t_ст2)/ ln(d₄/d₃)

     Вирішуючи отримані рівняння, отримуємо для теплового потоку через багатошарову стінку

Q = 2·π·l·(t_ст1 – t_ст2) / [ln(d₂/d₁)/λ₁ + ln(d₃/d₂)/λ₂ + ln(d₄/d₃)/λ₃].

     Для лінійної щільності теплового потоку маємо

q_l = Q/l = 2·π· (t₁ – t₂) / [ln(d₂/d₁)/λ₁ + ln(d₃/d₂)/λ₂ + ln(d₄/d₃)/λ₃].

     Температуру між шарами знаходимо з наступних рівнянь

t_сл1 = t_ст1 – q_l·ln(d₂/d₁) / 2·π·λ₁ 
t_сл2 = t_сл1 – q_l·ln(d₃/d₂) / 2·π·λ₂ 

5.Стаціонарна теплопровідність через шарову стінку

     Нехай є порожній шар - внутрішній діаметр d₁, зовнішній діаметрd₂, температура внутрішньої поверхні стінки –t_ст1, температура зовнішньої поверхні  стінки –t_ст2, коефіцієнт теплопровідності стінки -λ.

Рівняння теплопровідності за законом Фур'є в сферичних координатах

Q = - λ·4·π·r²· ∂t / ∂r

або

Q =4·π·λ·Δt/(1/r₂ - 1/r₁) =2·π·λ·Δt/(1/d₁ - 1/d₂) =
= 2·π·λ·d₁·d₂·Δt /(d₂ - d₁) = π·λ·d₁·d₂·Δt / δ

де  Δt = t_ст1 – t_ст2 – температурний напір;
      δ –толщина стенки.

Задача

     Шар льоду на поверхні води має товщину 350 мм, температури нижньої і верхньої поверхонь відповідно t₁=0⁰С і t₂=-15⁰С. Визначити тепловий потік через 1 м² поверхні льоду, якщо його теплопровідність λ_л =2,25 Вт/м·К.
     Як зміниться тепловий потік, якщо лід накриється шаром снігу товщиною 155 мм з теплопровідністю λ_сн. =0,4658 Вт/м·К і температурою на поверхні снігу -20⁰С.
Рішення:
Питомий тепловий потік внаслідок теплопровідності через шар льоду дорівнює
Вт/м²;
Питомий тепловий потік через шар льоду, накритий снігом дорівнює

Вт/м²

тобто менше в три рази.
Питання для самоконтролю:
1. Поясніть механізм перенесення теплоти теплопровідністю.
2. Що таке стаціонарне і нестаціонарне температурне поле? Запишіть математичний вираз для температурного поля в загальному вигляді.
3. Що таке ізотермічні поверхні і температурний градієнт?
4. Як визначити тепловий потік через плоску та циліндричну стінки в процесі теплопровідності?
5. Дайте означення коефіцієнта теплопровідності. Поясніть його фізичний зміст та запишіть розмірність.
6. У чому полягає суть закону Фурۥє?
7. Поясніть, як змінюється коефіцієнт теплопровідності зі збільшенням температури.
8. В яких межах змінюється коефіцієнт теплопровідності газів, рідин та твердих тіл?
9. Як визначаються температури на межах стику шарів багатошарової плоскої і циліндричної стінок?
10. Що називають термічним опором теплопровідності?
11. Поясніть, як залежить зміна температури в твердій стінці від теплопровідності стінки? За яким законом змінюється температура в плоскій та циліндричній стінках?

ЛЕКЦІЯ

ТЕМА ЛЕКЦІЇ : Теплопровідність. Основні поняття та визначення

МЕТА ЛЕКЦІЇ : Ознайомитись зі способом перенесення теплоти, шляхом теплопровідності

ПЛАН ЛЕКЦІЇ :

1.     Температурне поле

2.      Рівняння теплопровідності

3.     Стаціонарна теплопровідність через плоску стінку

4.     Стаціонарна теплопровідність через циліндричну стінку

5.     Стаціонарна теплопровідність через шарову стінку

     1.Процес передачі теплоти теплопровідністю відбувається при безпосередньому контакті тіл або частками тіл з різними температурами і являє собою молекулярний процес передачі теплоти. При нагріванні тіла, кінетична енергія його молекул зростає і частки більш нагрітої частини тіла, стикаючись з сусідніми молекулами, передають їм частину своєї кінетичної енергії.

     Будемо розглядати тільки однорідні і ізотропні тіла, тобто такі тіла, які мають однакові фізичні властивості в усіх напрямках. При передачі теплоти в твердому тілі, температура тіла буде змінюватися по всьому об'єму тіла і в часі. Сукупність значень температури в даний момент часу для всіх точок досліджуваного простору називається температурним полем:

t = f (x, y, z, τ)

де: t-температура тіла;

     x, y, z - координати точки;

     τ – час

     Часто температура змінюється тільки за однією або двома просторовими координатами, відповідно температурне поле буде одно або двомірним. Крім того, розрізняють стаціонарне температурне поле, коли температура в усіх точках тіла не змінюється з часом  і нестаціонарне.

     Ізотермічної поверхнею називається поверхня тіла з однаковою температурою.

     Розглянемо дві ізотермічні поверхні (рис.9.1) з температурами t і t + Δt. Градіентом температури називають межу відношення зміни температури Δt до відстані між ізотермами по нормалі Δn, коли прямує до нуля:

gradt = | gradt | = Lim [Δt / Δn] Δn → 0 = ∂t / ∂n

     

     Температурний градієнт - це вектор, спрямованої по нормалі до ізотермічної поверхні в бік зростання температури і чисельно рівний похідній температури t по нормалі n:

gradt = ∂t / ∂n n₀

де: n₀ - одиничний вектор.

     Кількість теплоти, що проходить через ізотермічну поверхню F в одиницю часу називається тепловим потоком – Q  [Вт ].

     Тепловий потік, що проходить через одиницю площі називають щільністю теплового потоку 

                         q = Q / F, [Вт / м²]

     2.Для твердого тіла рівняння теплопровідності підкоряється закону Фур'є:

     Кількість теплоти, яка проходить через елемент ізотермічної поверхні за проміжок часу, пропорційно температурному градієнту

Q = -λ ∙ F ∙ ∂t / ∂n, або

q = -λ ∙ ∂t / ∂n ∙ no = -λ ∙ gradt

де: q - вектор щільності теплового потоку;

      λ - κоеффіціент теплопровідності, [Вт / (м ∙ К)].

Знак мінус у рівнянні вказує на те, що вектор q скерований протилежно векторові grad t , тобто в напрямку найбільшого зменшення температури

Чисельне значення вектора щільності теплового потоку дорівнює:

q = -λ ∙ ∂t / ∂n = -λ ∙ | gradt |

де: | gradt | - модуль вектора градієнта температури.

      Коефіцієнт теплопровідності λ є фізичним параметром речовини, що характеризує здатність тіла проводить теплоту. Він залежить від роду речовини, тиску і температури. Також на його величину впливає вологість речовини. Для більшості речовин коефіцієнт теплопровідності визначається дослідним шляхом і для технічних розрахунків беруть з довідкової літератури. Чисельно коефіцієнт теплопровідності λ дорівнює густині теплового потоку при градієнтові температури 1 К/м

3. Стаціонарна теплопровідність через плоску стінку

А) Однорідна одношарова стінка

Температури поверхонь стінки –t_ст1 і t_ст2
Щільність теплового потока:

q = -λ∙ ∂t/∂n = - λ∙ ∂t/∂x = - λ∙ (t_cт2 - t_cт1)/(x_cт2 - x_cт1)

або

q = λ∙ (t_cт2 - t_cт1)/(x_cт2 - x_cт1)∙ Dt/Dx

де δ – товщина стінки

    (t_cт2 - t_cт1) = ∆t – температурний напір

Тоді

q = λ/δ∙(t_ст1 – t_ст2) = λ/δ∙Δt

    Якщо R = δ / λ - термічний опір теплопровідності стінки [(м² ∙ К) / Вт], то щільність теплового потоку:

q = (t_ст1 – t_ст2)/R

     Загальна кількість теплоти, що передається через поверхню F за час τ визначається:

Q = q∙F∙τ = (t_ст1 – t_ст2)/R·F∙τ

Температура тіла в точці з координатою х знаходиться за формулою:

t_x = t_ст1 – (t_ст1 – t_ст2)∙x/ δ

Б)  Багатошарова плоска стінка

     Розглянемо 3-х шарову стінку (рис.9.3). Температура зовнішніх поверхонь стенокt_ст1 і t_ст2, коефіцієнти теплопровідності слоевλ₁, λ₂, λ₃, товщина шарів δ₁, δ₂, δ₃

Щільність теплових потоків через кожен шар стінки

q = λ₁/δ₁∙(t_ст1 – t_сл1)
q = λ₂/δ₂∙(t_сл1 – t_сл2)
q = λ₃/δ₃∙(t_сл2 – t_ст2)

Вирішуючи ці рівняння, щодо різниці температур і складаючи, отримуємо

q = (t₁ – t₄)/(δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂ + δ₃/λ₃) = (t_ст1 – t_ст4)/R_o 

де  R_o = (δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂ + δ₃/λ₃) - загальний термічний опір теплопровідності багатошарової стінки.

    Температура шарів визначається за такими формулами :

t_сл1 = t_ст1 – q∙(δ₁/λ₁)

 t_сл2 = t_сл1 – q·(δ₂/λ₂)

4.Стаціонарна теплопровідність через циліндричну стінку.

А) Однорідна циліндрична стінка.

     Розглянемо однорідний одношаровий циліндр довжиною l, внутрішнім діаметром _d1і зовнішнім діаметром d₂

Температури поверхонь стінки – t_ст1 і t_ст2

Рівняння теплопровідності за законом Фур'є в циліндричних координатах

Q = - λ∙2∙π∙r ·l· ∂t / ∂r

або

Q = 2·π·λ·l·Δt/ln(d₂/d₁)

де  Δt = t_ст1 – t_ст2 – температурний напір
      λ – κоефіцієнт теплопровідності стінки

     Для циліндричних поверхонь вводять поняття теплового потоку одиниці довжини циліндричної поверхні (лінійна щільність теплового потоку), для якої розрахункові формули будуть

q_l = Q/l =2·π·λ·Δt /ln(d₂/d₁), [Вт/м].

Температура тіла всередині стінки з координатою d_х

t_x = t_ст1 – (t_ст1 – t_ст2) ·ln(d_x/d₁) / ln(d₂/d₁).

Б)Багатошарова циліндрична стінка

Припустимо циліндрична стінка складається з трьох щільно прилеглих шарів

Температура внутрішньої поверхні стінки – t_ст1, температура зовнішньої поверхні  стінки – t_ст2, коефіцієнти теплопровідності шарів – λ₁, λ₂, λ₃, діаметри шарів d₁, d₂, d₃, d₄.

Теплові потоки для шарів будуть:

1-й шар

Q = 2·π· λ₁·l·(t_ст1 – t_сл1)/ ln(d₂/d₁)

2-й шар
Q = 2·π·λ₂·l·(t_сл1 – t_сл2)/ ln(d₃/d₂)
3-й шар
Q = 2·π·λ₃·l·(t_сл2 – t_ст2)/ ln(d₄/d₃)

     Вирішуючи отримані рівняння, отримуємо для теплового потоку через багатошарову стінку

Q = 2·π·l·(t_ст1 – t_ст2) / [ln(d₂/d₁)/λ₁ + ln(d₃/d₂)/λ₂ + ln(d₄/d₃)/λ₃].

     Для лінійної щільності теплового потоку маємо

q_l = Q/l = 2·π· (t₁ – t₂) / [ln(d₂/d₁)/λ₁ + ln(d₃/d₂)/λ₂ + ln(d₄/d₃)/λ₃].

     Температуру між шарами знаходимо з наступних рівнянь

t_сл1 = t_ст1 – q_l·ln(d₂/d₁) / 2·π·λ₁ 
t_сл2 = t_сл1 – q_l·ln(d₃/d₂) / 2·π·λ₂ 

5.Стаціонарна теплопровідність через шарову стінку

     Нехай є порожній шар - внутрішній діаметр d₁, зовнішній діаметрd₂, температура внутрішньої поверхні стінки –t_ст1, температура зовнішньої поверхні  стінки –t_ст2, коефіцієнт теплопровідності стінки -λ.

Рівняння теплопровідності за законом Фур'є в сферичних координатах

Q = - λ·4·π·r²· ∂t / ∂r

або

Q =4·π·λ·Δt/(1/r₂ - 1/r₁) =2·π·λ·Δt/(1/d₁ - 1/d₂) =
= 2·π·λ·d₁·d₂·Δt /(d₂ - d₁) = π·λ·d₁·d₂·Δt / δ

де  Δt = t_ст1 – t_ст2 – температурний напір;
      δ –толщина стенки.

Задача

     Шар льоду на поверхні води має товщину 350 мм, температури нижньої і верхньої поверхонь відповідно t₁=0⁰С і t₂=-15⁰С. Визначити тепловий потік через 1 м² поверхні льоду, якщо його теплопровідність λ_л =2,25 Вт/м·К.
     Як зміниться тепловий потік, якщо лід накриється шаром снігу товщиною 155 мм з теплопровідністю λ_сн. =0,4658 Вт/м·К і температурою на поверхні снігу -20⁰С.
Рішення:
Питомий тепловий потік внаслідок теплопровідності через шар льоду дорівнює
Вт/м²;
Питомий тепловий потік через шар льоду, накритий снігом дорівнює

Вт/м²

тобто менше в три рази.
Питання для самоконтролю:
1. Поясніть механізм перенесення теплоти теплопровідністю.
2. Що таке стаціонарне і нестаціонарне температурне поле? Запишіть математичний вираз для температурного поля в загальному вигляді.
3. Що таке ізотермічні поверхні і температурний градієнт?
4. Як визначити тепловий потік через плоску та циліндричну стінки в процесі теплопровідності?
5. Дайте означення коефіцієнта теплопровідності. Поясніть його фізичний зміст та запишіть розмірність.
6. У чому полягає суть закону Фурۥє?
7. Поясніть, як змінюється коефіцієнт теплопровідності зі збільшенням температури.
8. В яких межах змінюється коефіцієнт теплопровідності газів, рідин та твердих тіл?
9. Як визначаються температури на межах стику шарів багатошарової плоскої і циліндричної стінок?
10. Що називають термічним опором теплопровідності?
11. Поясніть, як залежить зміна температури в твердій стінці від теплопровідності стінки? За яким законом змінюється температура в плоскій та циліндричній стінках?